気づいたらもう11月です。
前回からだいぶ間が空いてしまいましたけど、また連休です。
で、今日の問題です。
で、解答です。
値の近似計算でした。
今回は三角関数の具体的な値を出せ、という問題です。
サインカーブの中で、角度(ここでは弧度法で表しています)に対応した値を出すんですが、
こういう問題は大抵有名角とはお世辞にも言えないほどかけ離れているものを相手にするんですね。
今回の場合も同じなんですが、sinの中身がまたまたえらいことになってます。
分数で、分子がπの3次式で、分母がπの2次式。そして当然端数が出る。
この端数がえらく曲者でして、どう扱う、もっというとどう求めるかがキーになるんです。
解答では、最初にsinの中身をバラして、そこで1/π^2が端数になるんで、加法定理でsin(1/π^2)とcos(1/π^2)に分けてから、具体的な値に踏み込んでいってます。
このときのsin(1/π^2)とcos(1/π^2)の値をどうやって出すか、ですが。ここはもう奥の手です。
先生あとはよろしくおねがいします、とばかりに使った方法が、テーラー展開でした。
テーラー展開は、関数を1定点(x=x0)の周りでべき関数の級数に表現する方法です。関数は何回でも微分できるものが相手です。
f(n)(x)はf(x)のn回微分した関数(第n次導関数)です。上の式のうち、x0=0のときを特にマクローリン展開といいます。
ホントはテーラー展開は以下のように表され、以下のような面倒な話を扱う必要があるんです。
ここでRn+1(x)は剰余項といいます。定義に従って無限級数にしてそれが収束しても、必ずしも元の関数と一致するわけじゃなくて、その誤差をこの項で示しています。
この余計なものがn→∞で0になるときにテーラー展開が成立しますから、そこまでちゃんと扱わなきゃいけないんですけど、
今回そこまでやってる余裕はないんで省略です。式の証明じゃなくて具体的な値を出すことが目的なので、そこまでやる必要もないです。
で、話を戻すと、三角関数のテーラー展開は、
この式を使ってsin(1/π^2)を近似します。上のとおりxの次数が上がるたびに増えて減って増えて減っての繰り返しで、求める値が小数第2位までなんで、まぁxの4~5次まで出しゃ大丈夫だろうとしました。
その結果が解答になります。
しかしまぁ小数第4位までの2乗の逆数が相手で、それも最大10乗ですから、えらいこっちゃです。
当然、手計算でなんてとてもできる量じゃないんで、べき乗部分は電卓に頼りました。
電卓に頼らないととても出せる値じゃないです、これ(^^;
一応、方法は他にもあるかなとは思って考えはしたんですね。
例えばπの係数で、そこから倍角なり3倍角なり半角の公式を使ってできるかと思ったんですけど、
途中でsin(π/9)とかが出てきてしまい、これがかなり厄介でして、有名角を使って出せるものでもない。解こうとすれば3次方程式が相手です。
(ちなみに計算サイトで出したら、実数解が3つも出てきてどれだっていうのもありました)
sin(π/9)が問題演習と同じ感覚で解けると思いえらい目にあいました・・・
個人的にはこれ、テーラー展開を使って手計算で真面目にやったら1時間位はかかるかと思います。。
あんまし考える要素はないんですが、ひたすら目的に向かって計算、計算を止まらずに続ける。
んでもってやっと小数第2位までの正確な値にたどり着く問題ですから、応用力よりは、単純に気力と根性を試される問題とも言うべきでしょうか。。
それでもボリュームがボリュームだけに大学入試に出すんなら誘導があるんでしょうけど(^^;
まぁどっちかといえばAO向きの問題でしょうかねぇ、これ。一般入試で出そうものならそれこそカオスな結果になりそうな予感が・・・
AOで入るっていうんならそれなりの力があるって見込まれてるわけですし。
受験生の不屈の精神を試すのも悪くはないのかなって思ってます。
